对于充要条件的判断,许多同学感觉困难,下面结合典型例题说明充要条件判断的三种常用方法,供大家参考。

1. 利用定义判断

如果已知,则p是q的充分条件,q是p的必要条件。根据定义可进行判断。

例1. 已知p、q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么s是q的_________条件;r是q的_______________条件;p是q的____________条件。

解:根据题意可表示为:

充分条件和必要条件的区别(充要条件生活实例举例) 第1张

由传递性可得图1

充分条件和必要条件的区别(充要条件生活实例举例) 第2张

图1

所以s是q的充要条件;r是q的充要条件;p是q的必要条件。

2. 利用等价命题判断

原命题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题,当我们直接判断原命题的真假有困难时,可以转化为判断其逆否命题的真假。这一点在充要条件的判断时经常用到。

由,容易理解p是q的充分条件,而q是p的必要条件却有点抽象。与

充分条件和必要条件的区别(充要条件生活实例举例) 第3张

是等价的,可以解释为若q不成立,则p不成立,条件q是必要的。

例2. 已知真命题“若

充分条件和必要条件的区别(充要条件生活实例举例) 第4张

则”和“若

充分条件和必要条件的区别(充要条件生活实例举例) 第5张

则”,则“”是“”的____________条件。

解:“若则

充分条件和必要条件的区别(充要条件生活实例举例) 第6张

”的逆否命题为“若则”。

又“若

充分条件和必要条件的区别(充要条件生活实例举例) 第7张


所以“若

充分条件和必要条件的区别(充要条件生活实例举例) 第8张

”为真命题。

故“”是“”的充分条件。

3. 把充要条件“直观化”

如果,我们可以形象地认为p是q的“子集”;如果

充分条件和必要条件的区别(充要条件生活实例举例) 第9张

,我们认为p不是q的“子集”,根据集合的包含关系,可借助韦恩图说明,现归纳如下。

图2反映了p是q的充分不必要条件时的情形。图3反映了p是q的必要不充分条件时的情形。图4反映了p是q的充要条件时的情形。图5、图6反映了p是q的既不充分也不必要条件时的情形。

充分条件和必要条件的区别(充要条件生活实例举例) 第10张

例3. 若

充分条件和必要条件的区别(充要条件生活实例举例) 第11张

,则p是q的什么条件?

解:由题设可知

充分条件和必要条件的区别(充要条件生活实例举例) 第12张

参照图3,可得p是q的必要不充分条件。

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